📦 其他 / 通用¶

📐 概率论与数理统计 — 做题技巧与真题解析¶

来源：概率论习题册（3份模拟试卷），整理自手写解题过程

一、事件概率计算¶

核心公式¶

加法公式： $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$
减法公式： $P(A - B) = P(A) - P(AB)$
对立事件： $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$
条件概率： $P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$
乘法公式： $P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)$
全概率： $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i)P(A|B_i)$
贝叶斯： $P(B_j|A) = \frac{P(B_j)P(A|B_j)}{\sum_{i=1}^{n} P(B_i)P(A|B_i)}$

德摩根律¶

\[\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\]

\[\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}\]

独立性¶

定义：$P(AB) = P(A)P(B)$
等价：$P(A|B) = P(A)$（$P(B)>0$）
性质：独立的对立事件也独立，即 $P(\overline{A}\overline{B}) = P(\overline{A})P(\overline{B})$

互斥 vs 独立¶

	互斥	独立
定义	$AB = \emptyset$	$P(AB) = P(A)P(B)$
关系	互斥+正概率 → 必不独立	独立+正概率 → 必不互斥

古典概型¶

放回抽样：总数 $n^m$（n个选择，m次）
不放回抽样：总数 $P_n^m = C_n^m \cdot m!$
等可能事件：$P(A) = \frac{A \text{包含的基本事件数}}{S \text{中的基本事件总数}}$

📝 例题1：独立事件的对立事件¶

【填空】 $P(A)=0.5, P(B)=0.2$，A与B独立，求 $P(\overline{A}+\overline{B})$

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$\overline{A}+\overline{B} = \overline{AB}$（德摩根律） $$P(\overline{A}+\overline{B}) = P(\overline{AB}) = 1 - P(AB) = 1 - P(A)P(B) = 1 - 0.1 = 0.9$$

📝 例题2：全概率与贝叶斯¶

【解答】 某人从南京到上海，乘火车/汽车/飞机概率 0.5/0.3/0.2，正点率 0.95/0.9/1.0。求：(1) 正点概率；(2) 已知正点，乘火车概率

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设 A=火车，B=汽车，C=飞机，D=正点 **(1)** $P(D) = 0.5\times0.95 + 0.3\times0.9 + 0.2\times1 = 0.945$ **(2)** $P(A|D) = \frac{P(A)P(D|A)}{P(D)} = \frac{0.475}{0.945} \approx 0.5026$

📝 例题3：对立事件简化计算¶

【解答】 甲乙丙独立破译密码，概率 1/5, 1/3, 1/4。求密码被译出概率

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用对立事件更简单： $$P(\text{译出}) = 1 - P(\overline{A})P(\overline{B})P(\overline{C}) = 1 - \frac{4}{5} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{5}$$

二、随机变量与分布¶

核心概念¶

概率密度函数 $f(x)$ 性质：

$f(x) \geq 0$
$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = 1$（归一化）
$P(a < X < b) = \int_a^b f(x)dx$

分布函数 $F(x)$ 性质：

$F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(t)dt$
单调不减、右连续
$\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$，$\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$
$P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)$

密度与分布互推：

密度 → 分布：积分 $F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)dt$
分布 → 密度：求导 $f(x) = F'(x)$

常见分布速查¶

分布	记号	$E(X)$	$D(X)$
二项分布	$X \sim B(n,p)$	$np$	$np(1-p)$
泊松分布	$X \sim P(\lambda)$	$\lambda$	$\lambda$
均匀分布	$X \sim U(a,b)$	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a)^2}{12}$
指数分布	$X \sim E(\lambda)$	$\frac{1}{\lambda}$	$\frac{1}{\lambda^2}$
正态分布	$X \sim N(\mu,\sigma^2)$	$\mu$	$\sigma^2$

正态分布核心技巧¶

标准化：$Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$
对称性：$\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$
样本均值：$\overline{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n)$
线性组合：$aX+bY \sim N(a\mu_1+b\mu_2, a^2\sigma_1^2+b^2\sigma_2^2)$（独立时）

📝 例题4：归一化+期望联立求参¶

【解答】 $f(x) = cx^a$（$0 \leq x \leq 1$），$E(X)=0.75$，求 c 和 a

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**归一化：** $\int_0^1 cx^a dx = \frac{c}{a+1} = 1 \Rightarrow c = a+1$ **期望：** $\int_0^1 cx^{a+1} dx = \frac{c}{a+2} = 0.75$ **联立：** $\frac{a+1}{a+2} = \frac{3}{4}$ → $a=2, c=3$

📝 例题5：对称性求期望方差¶

【解答】 $f(x) = \frac{1}{2}e^{-|x|}$，求 $E(X)$ 和 $D(X)$

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$f(x)$ 偶函数 → $xf(x)$ 奇函数 → $E(X) = 0$ $E(X^2) = 2\int_0^{+\infty} x^2 \cdot \frac{1}{2}e^{-x}dx = \int_0^{+\infty} x^2 e^{-x}dx = 2$（分部积分） $D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 2$

📝 例题6：分布函数求概率和密度¶

【解答】 $F(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 0 \\ Ax^2, & 0 < x \leq 1 \\ 1, & x > 1 \end{cases}$，求 A、$P(-1 \leq X \leq 0.5)$、$E(X), D(X)$

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**(1)** 右连续：$\lim_{x \to 1^+} F(x) = A = 1$ **(2)** $P(-1 \leq X \leq 0.5) = F(0.5) - F(-1) = 0.25 - 0 = 0.25$ **(3)** $f(x) = F'(x) = 2x$（$0 --- ### 三、二维随机变量 #### 核心技巧 - **边缘密度：** $f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)dy$，$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)dx$ - **独立判断：** $f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$ 恒成立 → 独立 - **快速判断：** 联合密度可分离变量 + 区域为矩形 → 独立 - **求常数 k：** $\iint f(x,y)\,dxdy = 1$ #### 协方差与相关系数 - $\text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$ - $D(X \pm Y) = D(X) + D(Y) \pm 2\text{Cov}(X,Y)$ - 独立 → $\text{Cov}(X,Y) = 0$ → $D(X \pm Y) = D(X) + D(Y)$ - 相关系数：$\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$ --- #### 📝 例题7：联合密度求边缘和独立性 **【解答】** $f(x,y) = ke^{-x-y}$（$x>0, y>0$），求 k、边缘密度、独立性

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**(1)** $k\int_0^{\infty}e^{-x}dx\int_0^{\infty}e^{-y}dy = k = 1$ → $k=1$ **(2)** $f_X(x) = e^{-x}$（$x>0$），$f_Y(y) = e^{-y}$（$y>0$） **(3)** $f(x,y) = e^{-x} \cdot e^{-y} = f_X(x) \cdot f_Y(y)$ → 独立

--- ### 四、数字特征 #### 核心公式 **期望：** - 离散：$E(X) = \sum x_i p_i$ - 连续：$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)dx$ - 线性性（恒成立）：$E(aX+bY) = aE(X)+bE(Y)$ - 函数期望：$E(g(X)) = \int g(x)f(x)dx$ **方差：** - $D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ - $D(aX+b) = a^2 D(X)$ - $D(X \pm Y) = D(X) + D(Y) \pm 2\text{Cov}(X,Y)$ - 独立时：$D(X \pm Y) = D(X) + D(Y)$ **常用分布方差：** - 二项 $B(n,p)$：$D(X) = np(1-p)$ - 泊松 $P(\lambda)$：$D(X) = \lambda$ - 正态 $N(\mu,\sigma^2)$：$D(X) = \sigma^2$ --- #### 📝 例题8：χ²分布的矩 **【选择】** $X \sim \chi^2(n)$，则 $E(X^2) =$（C）$n^2+2n$

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$E(X) = n$，$D(X) = 2n$ $E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2 = 2n + n^2 = n^2+2n$

--- ### 五、参数估计 #### 矩估计 1. 写出 $E(X)$（用参数表示） 2. 令 $E(X) = \overline{X}$ 3. 解方程得估计量 #### 极大似然估计（MLE） 1. 写似然函数 $L(\theta) = \prod f(x_i;\theta)$ 2. 取对数 $\ln L(\theta)$ 3. 求导 $\frac{d\ln L}{d\theta} = 0$ 4. 解方程得 $\hat{\theta}$ #### 常见分布估计量 | 分布 | 矩估计 | MLE | |------|--------|-----| | $U(0,\theta)$ | $\hat{\theta} = 2\overline{X}$ | $\hat{\theta} = \max X_i$ | | $B(1,p)$ | $\hat{p} = \overline{X}$ | $\hat{p} = \overline{X}$ | | $E(\lambda)$ | $\hat{\lambda} = 1/\overline{X}$ | $\hat{\lambda} = 1/\overline{X}$ | | $N(\mu,\sigma^2)$ | $\hat{\mu}=\overline{X}, \hat{\sigma}^2=S_n^2$ | $\hat{\mu}=\overline{X}, \hat{\sigma}^2=S_n^2$ | --- #### 📝 例题9：MLE完整步骤 **【解答】** $f(x) = (\alpha+1)x^\alpha$（$0

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$L(\alpha) = (\alpha+1)^n \prod x_i^\alpha$ $\ln L = n\ln(\alpha+1) + \alpha \sum \ln x_i$ $\frac{d\ln L}{d\alpha} = \frac{n}{\alpha+1} + \sum \ln x_i = 0$ $$\hat{\alpha} = -1 - \frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln X_i}$$

六、数理统计¶

三大抽样分布¶

分布	构造	$E$	$D$
$\chi^2(n)$	$\sum Z_i^2$，$Z_i \sim N(0,1)$	$n$	$2n$
$t(n)$	$\frac{Z}{\sqrt{\chi^2/n}}$	0	$\frac{n}{n-2}$
$F(n_1,n_2)$	$\frac{\chi_1^2/n_1}{\chi_2^2/n_2}$	—	—

关键统计量分布¶

$\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$（σ已知）
$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$
$\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$（σ未知）

置信区间¶

σ已知： $\overline{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

σ未知： $\overline{X} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}$

假设检验¶

σ已知用 Z 检验，σ未知用 t 检验
拒绝域在两侧（双侧检验）或一侧（单侧检验）
P值 < α → 拒绝原假设

📝 例题10：置信区间选择¶

【选择】 $X \sim N(\mu,\sigma^2)$，σ²未知，$n=16, \overline{x}=20, s=1$，90%置信区间

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σ未知用 t 分布： $$\overline{x} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} = 20 \pm t_{0.05}(15) \cdot \frac{1}{4}$$ 关键：自由度 $n-1=15$，90%置信度 → $\alpha/2 = 0.05$

七、解题策略总结¶

先识别题型：离散/连续？一维/二维？概率/数字特征/估计？
归一化是第一反应：求常数 C → $\int f = 1$
对称性省计算：偶函数×奇函数=0，期望直接得零
独立性三件套：概率可乘、方差可加、$E(XY)=E(X)E(Y)$
正态必标准化：$Z = (X-\mu)/\sigma$
方差恒正：$D(X-2Y) = D(X) + 4D(Y)$，不是减号
MLE 四步走：写L → 取ln → 令导数=0 → 解方程
置信区间看 σ：已知用 Z，未知用 t（自由度 n-1）

iTerm2 退出时的 Session Restoration¶

现象¶

退出 iTerm2 后显示：

Saving session...
...copying shared history...
...saving history...truncating history files...
...completed.

原因¶

iTerm2 的 Session Restoration 功能，关闭会话时自动： 1. 保存会话状态（窗口布局、标签页、当前目录） 2. 合并命令历史到全局历史文件 3. 截断历史文件防止膨胀

历史文件位置¶

zsh（Mac 默认）：~/.zsh_history
bash：~/.bash_history
iTerm2 会话状态：~/Library/Application Support/iTerm2/

关闭方法¶

iTerm2 → Settings → General → Startup → 选 "No restore"

备注¶

系统自带 Terminal.app 不会有此行为，仅 iTerm2 特有

macOS 系统架构与 Linux 的区别¶

内核差异¶

macOS 基于 XNU 混合内核（Mach 微内核 + BSD 宏内核层）
Linux 是宏内核
两者都是类 Unix，命令行工具基本通用

"一切皆文件"¶

macOS 继承 Unix 传统，一切皆文件
但 /proc /sys 等虚拟文件系统在 Mac 上变成 Mach 内核对象

应用与配置¶

Linux：配置多为 /etc/ 下纯文本，apt/yum 安装到 /usr/
macOS：
应用 = .app 捆绑包，拖到 /Applications/ 即安装
配置存 ~/Library/Preferences/ 下 plist 二进制文件
用 defaults read/write 命令管理配置
服务管理用 launchd（非 systemd）
包管理用 Homebrew（第三方）

架构层次¶

Aqua (GUI) → Cocoa/AppKit → Core Services → Darwin (XNU内核: Mach + BSD) → 硬件

核心区别¶

维度	Linux	macOS
内核	宏内核	混合内核
包管理	apt/yum/pacman	App Store + .app
文件系统	ext4/btrfs	APFS
服务管理	systemd	launchd
配置方式	纯文本为主	plist 二进制
开源	完全开源	内核开源，用户层闭源

访达查看根目录¶

Cmd + Shift + . 显示隐藏文件
Macintosh HD 就是根目录
系统级操作推荐用终端

Homebrew（brew）— Mac 软件包管理器¶

是什么¶

macOS 上的包管理器，类比 Linux 的 apt/yum
一行命令装软件，不用去官网下载

核心用途¶

brew install <软件名> — 装命令行工具（git、node、python 等）
brew install --cask <软件名> — 装 GUI 应用（Chrome、VSCode 等）
brew services list/start/stop — 管理服务
brew upgrade — 更新所有已装软件
brew uninstall <软件名> — 干净卸载

安装方法¶

/bin/bash -c "$(curl -fsSL https://raw.githubusercontent.com/Homebrew/install/HEAD/install.sh)"

装完后配置 PATH：

echo 'eval "$(/opt/homebrew/bin/brew shellenv)"' >> ~/.zshrc
source ~/.zshrc

注意事项¶

brew 不允许用 sudo/root 运行
首次安装会自动 update，很慢，可用 HOMEBREW_NO_AUTO_UPDATE=1 跳过
如果 git clone 失败，需要配代理（见下方代理章节）

Mac 安装 Node.js（推荐 nvm）¶

为什么用 nvm¶

可以随时切换 Node 版本
不需要 sudo 权限
不污染系统环境
社区主流方案

安装步骤¶

安装 nvm：curl -o- https://raw.githubusercontent.com/nvm-sh/nvm/v0.40.3/install.sh | bash
重新打开终端或 source ~/.zshrc
安装 Node：nvm install --lts（LTS 版）或 nvm install 22（指定版本）
设为默认：nvm alias default 22
验证：node -v、npm -v

npm 国内镜像¶

npm config set registry https://registry.npmmirror.com

macOS 终端代理问题（重要！）¶

现象¶

Clash Verge 开了系统代理/全局模式，浏览器正常走代理
但终端（Terminal/iTerm2）执行 curl/git 等命令时不走代理

原因¶

macOS 系统代理只对支持系统代理的 GUI 应用生效
终端默认只看环境变量 http_proxy、https_proxy、all_proxy
Clash Verge 的“系统代理”模式不会自动注入环境变量到终端

解决方案¶

Clash Verge 开 TUN 模式（推荐）— 虚拟网卡级别，所有流量走代理，终端也走
终端手动配置环境变量（不推荐写死，应按需开关）

正确的代理使用方式¶

不要把代理写死在环境变量里，按需开关

在 ~/.zshrc 加快捷函数：

proxy_on() {
    export http_proxy=http://127.0.0.1:7897
    export https_proxy=http://127.0.0.1:7897
    export all_proxy=socks5://127.0.0.1:7897
    echo "✅ 代理已开启"
}
proxy_off() {
    unset http_proxy
    unset https_proxy
    unset all_proxy
    echo "❌ 代理已关闭"
}

什么时候需要代理¶

✅ GitHub、Google、YouTube 等国外服务
✅ brew/npm/pip 安装国外源
❌ Gitee、百度、淘宝等国内服务（不需要）

验证代理是否生效¶

env | grep -i proxy
# 有输出说明配了，空说明没配

Mac 环境变量配置¶

配置文件位置（zsh 加载顺序）¶

~/.zshenv — 最早加载，所有 zsh 都生效
~/.zprofile — 登录 shell 加载
~/.zshrc — 登录交互式 shell 加载（最常用，改这个）
~/.zlogin — zshrc 之后加载

常用操作¶

查看环境变量：env
查看 PATH：echo $PATH
编辑：nano ~/.zshrc 或 vim ~/.zshrc
格式：export 变量名="值" 或 export PATH="/new/path:$PATH"
生效：source ~/.zshrc

Mac 查看应用内存和磁盘占用¶

内存查看¶

活动监视器（GUI）：open -a "Activity Monitor"，内存标签页排序
命令行：ps aux --sort=-%mem | head -20

磁盘查看¶

整体空间：df -h
目录大小：du -sh * | sort -hr
应用大小：ls -lhS /Applications/
Homebrew：du -sh /opt/homebrew/
App 沙盒数据：du -sh ~/Library/Containers/

实用工具¶

CleanMyMac（付费，图形化）
OmniDiskSweeper（免费，扫描磁盘按大小显示）

GitHub/Gitee 仓库同步到本地¶

基本流程¶

安装 Git：Mac 自带或 brew install git；Windows 下载安装包
首次配置：git config --global user.name/email
克隆仓库：git clone https://github.com/用户名/仓库名.git
日常同步：cd 仓库名 && git pull
本地推送：git add . && git commit -m "说明" && git push

SSH 密钥（免密码推送）¶

ssh-keygen -t ed25519 -C "邮箱"
cat ~/.ssh/id_ed25519.pub
# 复制输出，粘贴到 GitHub/Gitee → Settings → SSH Keys

Mac vs Windows 区别¶

Git 命令完全一样
Mac 用 Terminal/iTerm2，Windows 用 Git Bash/CMD
路径格式不同：Mac /Users/xxx，Windows C:\Users\xxx

分布	记号	\(E(X)\)	\(D(X)\)
二项分布	\(X \sim B(n,p)\)	\(np\)	\(np(1-p)\)
泊松分布	\(X \sim P(\lambda)\)	\(\lambda\)	\(\lambda\)
均匀分布	\(X \sim U(a,b)\)	\(\frac{a+b}{2}\)	\(\frac{(b-a)^2}{12}\)
指数分布	\(X \sim E(\lambda)\)	\(\frac{1}{\lambda}\)	\(\frac{1}{\lambda^2}\)
正态分布	\(X \sim N(\mu,\sigma^2)\)	\(\mu\)	\(\sigma^2\)

分布	构造	\(E\)	\(D\)
\(\chi^2(n)\)	\(\sum Z_i^2\)，\(Z_i \sim N(0,1)\)	\(n\)	\(2n\)
\(t(n)\)	\(\frac{Z}{\sqrt{\chi^2/n}}\)	0	\(\frac{n}{n-2}\)
\(F(n_1,n_2)\)	\(\frac{\chi_1^2/n_1}{\chi_2^2/n_2}\)	—	—

	互斥	独立
定义	\(AB = \emptyset\)	\(P(AB) = P(A)P(B)\)
关系	互斥+正概率 → 必不独立	独立+正概率 → 必不互斥